28 באוקטובר, 2010

חשבון שלמדתי מהילדים

אצלנו בבית לא לומדים חשבון.

אצלנו בבית כל הזמן עושים חשבון.

אני לא יכולה להצביע על משהו שאנחנו עושים וגורם לילדים שלנו להסתכל על דברים דרך פריזמה מתמטית. אני רואה אותם משתמשים בפריזמה זו לפעמים, ויכולה רק לשער שהיא לקוחה מארגז הפריזמות שלנו. או שלא. אין לי שום בטחון שפריזמה זו חסומה בפני ילדים אחרים. את רובם אני לא מכירה מקרוב.

אם לעזוב לרגע את המטאפורה הססגונית (אתם מדמינים איתי את הקשת שנראית דרך הפריזמה המתמטית שיש לנו בארגז?) אני לא יכולה להציע להורים ערמה של עצות/כללים/כלים שיגרמו למישהו לשחק עם מספרים. אני כן יכולה להראות שלל מצבים בהם הילדים שלי התבוננו במשהו, ומה שיצא להם מהפה והופנה אלי היה מספרים.

מספר זה כמות של משהו

הפעם הראשונה שגרמה לי לטלפן לכל העולם כדי לדווח בהתרגשות "הילדים תופסים כמות!” היתה כשאחד הגדולים (אז בני שנתיים וחצי) הגיע אלי עם שלושה חיתולים, והסביר: להדס, לדולב, ולדובי. זה היה בסביבות גיל שנתיים וחצי.

ספירה היא מדידה

אם אני מנסה לזכור מתי הילדים פגשו ספירה "סתם", אצלנו זה קורה בהנקה: כשאני רוצה לתחום יניקה בזמן, אני מודיעה שאני עומדת לספור עד עשר, סופרת, ומפסיקה את היניקה. בצד ההנקה יש סביב זה המון אפיזודות משעשעות כמו "את לא סופרת!” (עם יד על הפה של אמא). בצד המתמטיקה יש דברים אחרים כמו "לא ככה!”, "איך?“, "ארבע, ארבעה, שלוש, עשר”, ואז, אחרי שאני מצליחה לספור כמו שמורים לי, ההסכם מקויים. כשיש לי סבלנות לזה, זה ממש מצחיק וכיף לספור גם בסלט, וגם בג'יבריש.

ממרחק תיאורתי אני רואה שיש פה הפרדה עדינה בין מדידת הזמן באמצעות ספירה, ובין המילים בהן אנחנו רגילים להשתמש למדידת זמן שכזו. מבריק, לא? וזה למדתי מבן שלוש!

ספרות הן שפה

מפגש ראשון אחר הוא המפגש עם הצורה של הספרות. אתם מכירים את המגנטים על המקרר? אז לא ככה. אצלנו למדו להכיר את הספרות מחוגת הטלפון. כשהדרדק מבקש לטלפן לחבר ולהזמין אותו, הוא גם מצפה לחייג בעצמו. אני עוזרת: “אפס” (מצביעה: כאן), “שבע שבע” (מצביעה: כאן, ומסבירה: “פעמיים”) וכו'. האמת היא שיש לפחות מכשיר אחד בו הספרות לא ניתנות לקריאה, מרוב חיוגים בידיים קטנות ולא-לגמרי-נקיות, אבל גם להכיר את המקום של הספרות זה משהו. האין זאת?

בטח יש עוד טריליון דרכים אחרות. זו, איכשהו, קורית אצלנו. אולי משום שמזו – אצלנו – פשוט לא ניתן להתחמק.

חשבון הוא מוחשי

אחת הפעמים המוקדמות בהן הופתעתי לשמוע תרגום של סיטואציה מהחיים לתרגיל חשבון, היה בבית של חברים, רגע לפני ארוחה משותפת.

באותו זמן היו לנו שלושה ילדים, ולחברים – אחת. כלומר, בחשבון זריז, בני היה בן ארבע-ארבע וחצי, ושולחן האוכל נערך לשמונה אנשים. זה היה שולחן ארוך, הסידור היה בשתי שורות של ארבע (אף אחד לא ישב בראש השולחן). הילד שלי התבונן בצלחות שעל השולחן, ושאל אותי: “אמא, ארבע ועוד ארבע זה כמו חמש ועוד שלוש”?

לומר שאני ממליצה לכל אמא להצביע על מספר הצלחות בכל ארוחה? אני לא. עם זאת, אין לי ספק שהילד שמע אותנו אינספור פעמים עושים חשבונות של כמה צלחות לערוך, ולפחות צד אחד של המשוואה הוא הכיר.

המתמטיקה נוחה להכללות

מתמטיקה לא עוסקת רק במספרים, בפרט לא רק בכמויות שהמספרים מבטאים. המתמטיקה מסתכלת על עולם המספרים מבחוץ, ומתארת אותו.

לא מזמן נשמע אצלנו הדיאלוג הבא (בכיכוב בת השבע):

- אמא, חמש הוא חצי משבע?
- מה דעתך?
- אממם… שלא.
- למה לא?
- חמש זה חצי מעשר, ושבע הוא לא עשר, אז…

לכאורה, הנושא של השיחה הזאת הוא חשבון עם מספרים קטנים, הכמות אותה כל מספר מתאר. מבחינה זו, יש פה הבנה מלאה מהו חצי. לא רק שבר שנכתב בדרך מסויימת, אלא גם הבנה מהו “חצי של…”.

למעשה, מתבטאת פה הבנה של משהו עמוק יותר לגבי מספרים: הילדה אומרת שמכך ששבע ועשר שונים זה מזה, ניתן להסיק שחצי משבע וחצי מעשר אינם אותו מספר. היא זיהתה תכונה של פעולת החילוק.

התכונה לא נוסחה באופן מלא ומסודר. לא במילים, לא בכתב. ויותר מזה, אני לא המשכתי לפתח את זה.

הסיבה המיידית בגללה לא המשכתי לדבר על זה היא שהדבר הראשון שעשיתי היה להתפעל. הדבר השני היה לנסות להבין מאיפה באה השאלה הזאת. לא קיבלתי תשובה (אילו היתה מעל לגיל 12, בוודאי הייתי נענית ב “אמא, די לחפור!”).

בדיעבד, אני כל כך שמחה שלא הכללתי בשבילה מהאבחנה שלה לאמירה על כל המספרים וכל הפעולות! קודם כל, כי איזה כיף יהיה לה כשהיא תכליל בעצמה! שנית, כי אני כלל לא בטוחה שהיא מסוגלת, כרגע, לראות תמונה רחבה יותר, גם אם אציג אותה. הכל בזמנו.

לא חייבים להבין מיד

דוגמה למצב בו ילד חוזר לבעיה כעבור כמה ימים היא המקרה הבא:

בני שאל כמה זה שישים כפול שישים (הפעם הנחתי שהניחוש שלי לגבי מקור השאלה נכון, ולא טרחתי לברר). אין לי שום ספק שהוא מסוגל לפתור את זה, למעשה התפלאתי בכלל שהוא שאל אותי, אז בחרתי לא לענות לו, אלא לנסות ללוות אותו בדרך לפתרון.

אגב, הרוב המוחלט של לימודי החשבון המשמעותיים שלנו קורים בעל פה. אחרי שהילדים יודעים לפתור סוג מסויים של תרגיל, הם מבקשים שנכתוב להם תרגילים כדי שיפתרו. הם מכוונים אותנו בדיוק לאילו סוגים של תרגילים לכתוב, ומה צריכה להיות רמת הקושי שלהם.

הוא הסתובב סביב הזנב של עצמו, כשאני עוקבת אחריו ומנסה לכוון אותו, במשך כמה דקות ולא הגיע לפתרון. ראיתי שהוא לא מרוכז, אולי עייף. עבר לי בראש "בוא נכתוב", אבל הסטתי את זה הצידה. בדיעבד, טוב שכך, כי אם הייתי לוקחת ליד דף ועט, הוא היה מקבל הרצאה. אמרתי "עזוב”.

עברו כמה ימים. נסענו לפארק הירדן. פתאום, מגיח ילד מהאוהל ושואל "כמה זה שישים כפול שישים”? אחרי פחות מדקה גם קיבלתי תשובה.

למספרים יש אסתטיקה

כר פורה ללימודי חשבון הם גילאים של הילדים. וזמן מצוין לכל סוג של לימוד הוא נסיעות ארוכות.

יום אחד, בנסיעה כזאת, אני שומעת מאחורי דיון של הילדים בגילאיהם. באיזשהו שלב בתי סיכמה את הדיון, והסבירה לי שיש להם רכבת של גילאים: ראשונה – הם גייסו חברה – נגה, היא בת אחת עשרה, אחר כך בכורי בני השמונה, אז מגיעה השלישית שהיתה אז בת חמש, ואחרון הצעיר בן השנתיים. בעוד שנה, הסבירו לי, הגילאים יהיו 12-9-6-3, ואצטרך ללדת ילד נוסף. להוראה זו לא נעניתי…

הילדים עלו לגמרי בעצמם על הקונספט של "סדרה חשבונית”. (אופס! מזכיר לכם מונח נוראי מלימודי המתמטיקה, זקוקים להסבר? קראו שוב את ההסבר של בתי. סביר שמה שזכור לכם כמדאיג הן נוסחאות החישוב, לא המהות.)

המשמעות קודמת למונח

אישית, אני מחזיקה באידיאולוגיה נחרצת של לאפשר לילדים בלי להרוס להם עם הסברים עודפים.

מצד שני, אני לא ממש מצליחה להרפות מההרגל להסביר דברים באופן ארוך ומפורט מדי.

המציאות שלי, כשהיא מוצאת חן בעיני, היא להתערב רק טיפונת, באופן הבא: כשהילדים עולים על עקרון חדש, לקרוא לו בשם המקובל. כך, כששאלו אותי "אמא, כמה זה ארבע ועוד ארבע ועוד ארבע ועוד ארבע ועוד ארבע ועוד ארבע”? עניתי "כמה פעמים? שש? עשרים וארבע”. ואחרי מספר פעמים כאלה, ציינתי שקוראים לזה כפל, והדגמתי הטיות.


אסופה אקלקטית זו של דוגמאות באה בעיקר להזמין אתכם, הורים, לפקוח עיניים ואזניים, ולנשוך את הלשון. אבל לא תמיד. אם נראה לכם שיש צורך להתערב, עשו זאת.

סמכו על המציאות שתזמן לילדיכם אינספור הזדמנויות ללימוד ותרגול מתמטיקה, סמכו על ילדיכם, שיקחו את ההזדמנויות בשתי ידיים, ויצורו מהן הפתעות.

8 תגובות   (רסס)

  1. מאת רחל ברמן:

    איזה כיף של רשימה, תודה רבה!

  2. מאת נעמה:

    _לפקוח עיניים ואזניים, ולנשוך את הלשון_
    מאמם!

    (בדיוק הבת שלי תכננה מערכת היגוי חדשנית לאוטו שהיא בונה, בזכות זה שלא הפרעתי לה).

  3. מאת טלי מאיר-צ'יזיק:

    תודה גילה.
    אני מאוד נהנית לקרוא אותך, וסיפורים מוחשיים זה מאוד עוזר.

  4. מאת משה:

    גילה – את פיספסת את הדבר העיקרי בסיפור על החמש שהוא לא חצי של עשר.
    זוהי הוכחה בדרך השלילה!!

  5. מאת גילה חורש:

    ואו!

    מסתבר שאני עוורת ליכולות לוגיות של הילדים. זה כמו שאני לא חשה את האוויר שאני נושמת.

  6. מאת משתמש אנונימי (לא מזוהה):

    חוצמזה יש פה משוואה עם נעלם אחד.
    x לחלק לשניים שווה חמש

  7. מאת רחל שי:

    גילה,
    התיאורים שלך מקסימים. את קשובה לילדים, ומאפשרת התפתחות של משמעות. יש לך גישה שמעוררת את התפתחות החשיבה הלאה.
    אני ממליצה לך לקנות ספר מקסים שדוגל בגישה דומה:
    חשבון להורים על מתמטיקה של ילדים- רון אהרוני (2004)- הוצאת שוקן.
    היום מדברים הרבה על משמעות מתמטית שמתפתחת דרך חויות מהעולם הסובב אותנו.
    אני מצרפת גם כתובת אתר מתמטיקה, שיש בו מאמרים וגם רעיונות לפעילות:
    mathcenter-k6.ac.il
    יישר כוח,
    רחל

הוספת תגובה

(מומלץ להיכנס או )