26 באוקטובר, 2010

לא הדרך, גם לא הפתרון

כל השנים חשבתי שהיפה במתמטיקה הוא שתמיד יש פתרון אחד נכון ומושלם ויש דרכים רבות להגיע אליו. היום הגעתי למסקנה שגם הפתרון לא חשוב – היופי במתמטיקה הוא שיש דרכים רבות לפתרונות רבים – וכולם נכונים.

לעיתים יכול להיות שיש פתרון אחד שיותר "נכון" או שמסתדר יותר "טוב" עם גורמים אחרים, אבל הוא לא גורע מנכונותם של הפתרונות האחרים. אני לא מדבר על מתמטיקה גבוהה או מספרים מרוכבים, אני מדבר על 13+21, למשל. הפתרון 34 נכון (כנראה) אך האם 33 או 35 אינן תשובות נכונות?

אם ילדי מחשב 13+21=33, זה בהחלט יכול להיות נכון. יכול להיות שהוא התבלבל בדרך, יכול להיות שאם הוא יעשה זאת בשנית הוא יגיע ל 34, אבל זה לא גורע מנכונות הפתרון הקודם. מה העדיפות של 34 על פני 33 בחישובו של ילדי?

יכול להיות (לא בהכרח) שאם הוא ינסה לבנות מנוע בהסתמך על 13+21=33, המנוע לא יעבוד טוב, אבל בבדיקה יסודית הוא ימצא פתרון נכון אחר (34 למשל, או 36) שיאריך את חיי המנוע.

איך לחשב מהר בראש

נגיד ששואלים אתכם כמה זה 1234 כפול 987. איך תדעו מה התשובה בלי לחפש את המחשבון הקרוב?
השיטה היא לחשב בערך, ואחר כך להתקרב לאט לאט לתשובה המדוייקת. 1234 זה בערך 1000 – לפחות בקירוב ראשון. ו-987 זה בערך מה? תחשבו שניה למה זה קרוב…

גם 987 קרוב ל-1000. לכן 1234 כפול 987 זה בערך 1000 כפול 1000 – וזה כבר תרגיל פשוט יותר, שהתוצאה שלו היא מיליון. לכן, בקירוב ראשון, 1234 כפול 987 זה מיליון.

בהרבה מקרים הקירוב הראשון מספיק טוב לצרכים שלנו. אבל אם אנחנו רוצים לשפר את הקירוב, אפשר להמשיך באותו האופן:
1234 יותר קרוב ל-1200 מאשר ל-1000, לכן אפשר להוסיף לתוצאה הראשונית עוד 200 כפול 987, שזה בערך 200 כפול 1000 – כלומר מאתיים אלף. לכן הקירוב השני שלנו יהיה מיליון ומאתיים אלף.

כך אפשר להמשיך ולהתקרב לתוצאה המדוייקת כמה שצריך, אם צריך.

למה זה חשוב?

למה כל כך חשוב לי לקבל את הנכונות של 33? מדוע לקבל מספר פתרונות, חלקם פתרונות "שגויים" לבעיות מתמטיות?
העולם בו אנו חיים היום הוא עולם שמחפש את הדיוק, מחפש את הנכונות המושלמת. כל ספרה נוספת אחרי הנקודה העשרונית מעלה את ערכה של התשובה, וכל פירוט נוסף במשוואה נחשב יותר מדויק ונכון.

אני חושב שזה לא תמיד נכון. באקדמיה או בבניית פצצת אטום חשוב להקפיד על מספר מקומות אחרי הנקודה העשרונית (לא יותר מדי) אבל זה לא נכון בחיי היומיום שלנו. אנחנו צריכים לקבל תשובות שמתאימות לחיי היומיום, תשובת מקורבות ותשובת שנמצאות במרחק סביר מהתשובה ה"אקדמית". אם אני יכול לקבל במכולת תשובה של 21+13 = 30+מסטיק – זו תשובה נהדרת, ונכונה בדיוק כמו 33, 34 או 35.

אנחנו משלמים מחיר יקר על הדיוק, ואולי שווה לוותר עליו. במכולת של פעם הייתה מחברת עם מחיקות והערות שוליים והעסק התנהל מצוין. כיום אנחנו צריכים לממן מחשב, קורא ברקוד ומערכת התחשבנות מורכבת עבור כל כיכר לחם (אורגני) שנקנה במכולת, ואני לא בטוח שזה משתלם. יכול להיות ששווה לחזור אחורה ולקבל הערכת מחיר מחברות הטלפוניה במקום פירוט שיחות על 5 דפים אותו איננו מבינים. (אבל זה נושא למאמר אחר)

זה לא חדש

ההבחנה שאין צורך בפתרון "נכון" ו"מדויק" אינה חדשה, אנו רואים אותה פעמים רבות בדברי חכמינו זיכרונם לברכה. עבור חז"ל, לדוגמה, היחס בין היקף המעגל לרדיוסו הוא "קצת יותר משלוש" – קירוב שהיה טוב לכל דבר ועניין בחיי היומיום ובית המדרש. דוגמה נוספת מבית מדרשם של חז"ל היא האמירה שכדור הארץ הוא עגול – לא מדויק, אך שימושי ביותר לחישוביהם של חז"ל.

כאשר נדרשו חז"ל לחישוב מדויק הם עשו זאת היטב. בחישוב החודש למשל, שהצריך נוסחה מדייקת למשך הזמן של חודש ירחי הם הגיעו לנתון מדויק עד שלוש ספרות לאחר הנקודה (29 יום, 12 שעות ו-793 חלקים) – 29.5305 יממות. גם עם לוח עיבור השנה אנו ממשיכים כבר כ-2000 שנה ללא כל תקלה ובעיה.

אלו לא רק חז"ל. המצרים היו בנאים טובים ומדויקים מאוד, ולא הטריחו עצמם בפילוסופיה של המתמטיקה כפי שעשו היוונים. אנחנו המשכה של התרבות היוונית, ולכן חשוב לנו הדיוק וחשובה לנו הפילוסופיה של המספרים, למרות שלפעמים זה דווקא מעכב ומפריע לנו.

היוונים בזבזו מאה שנים על שורש 2 – המצרים פשוט בנו פירמידות.

ושאלה לקוראים לסיום

מה יותר "נכון" לדעתכם:
21 + 13 = 33 או 21 + 13 = 34.1 או 21 + 13 קצת יותר גדול משלושים ???

4 תגובות   (רסס)

  1. מאת שגית רי:

    מעורר מחשבה.
    אני מעדיפה את ה"בערך" וה"קצת יותר" (ולצערו של בעלי, גם מחשבת ככה כשאני בונה את הקירות בבית…) אבל אני חושבת שלטובתנו או שלא, כבר התקדמנו הרבה מער לזה, התרגלנו לחשוב ברזולוציה הרבה יותר גבוהה, פיתחנו מכונות שלא יכולות לפעול לפי "שלוש וקצת".
    לחזור לשם יהיה כמו לחזור לשאוב מים מהבאר..אפשרי ברמה האישית אבל לא מתאים לכולם כתרבות..

  2. מאת אפי:

    לפעמים הדיוק עושה את כל ההבדל. לפני איזה זמן (השיוק פה דוקא חסר משמעות) כתבתי על כך http://cafe.themarker.com/post/931153/

  3. מאת גילה חורש:

    כל כך נכון.
    בעולם האמיתי, בחיי היום יום, יותר חשוב לקבל תחושה של כמות, מאשר לדעת מספר מדויק. להרטיב את האצבע, להניף, ולחוש את כיוון הרוח.
    לגמרי בניגוד, וגם לגמרי מתבסס על לימודי החשבון.

  4. מאת אורלי:

    סורי, לא מסכימה.
    באופן כללי הרעיון מאוד נכון ומתאים להמון דברים בחיים, אבל חשבון, ועוד פשוט, הוא פשוט, איך לומר-חשבון. יש תשובה אחת, ואני לא פילוסופית גדולה, אבל 21+13 הם 34, ויש דברים אחרים שאפשר לתת ביטוי לחופש המחשבה. ותחשבו גם על זה.
    ד"א, עם התשובה גדול יותר מ30 אין לי בעיה. פה יש מושג נכון. תשובה מדוייקת אחרת מ34 היא פשוט…שגיאה.

הוספת תגובה

(מומלץ להיכנס או )