לבחור חשבון או לא?

ילדיי, תום ויסמין מבלים את שנת הלימודים בבית הספר הדמוקרטי של הוד השרון. מבלים, אני אומרת, כי הם לאו דווקא לומדים, לפחות לא במובן הקונבנציונלי של המילה.
בתחילת השנה הילדים מרכיבים לעצמם מערכת. זאת אחת הסיבות שהם נמצאים בבית הספר הדמוקרטי – חופש הבחירה במקצועות הנלמדים. בניגוד להורים אחרים, אני לא מתערבת בתהליך הבחירה שלהם, מתוך עקרון, אלא אם כן הם מבקשים ממני עזרה.
Continue reading

מלאות תשובת הילד

"כשיתחיל בית הספר להקנות לילדים דעת ולא יתרונות, ניתן לילדים במקום בחינות את האביב."

— קורצ'אק

נניח ששואלים ילד צעיר כמה זה חצי של שמונה עשרה, והוא עונה שמונה.

אם מודיעים לו שהתשובה לא נכונה ועוברים הלאה (נותנים את התשובה הנכונה, שואלים מישהו אחר, עוברים לשאלה הבאה, או אפילו חוזרים ושואלים את הילד את אותה השאלה) זה עשוי להצביע על-כך שיותר משאנו מבקשים להקנות לו דעת, אנו מבקשים להקנות לו יתרון (או חסרון). משמע, שהדגש הוא על התחרותיות, על ההצלחה או הכישלון בבחינת כן/לא, ולא על הלימוד שהוא תמיד רבגוני, שהוא לא רק  קליפת הכן/לא, אלא התוכן עצמו שהוא מלא ובלתי נמדד.

ואיך היה נראה לימוד שהוא ממוקד דעת במובן הבריא של המילה?

אם ילד נותן תשובה, ולא משנה איזו תשובה, יש מקום להתייחס לתשובתו בבחינת 'יש'.

במקרה הזה אפשר להגיד לו למשל ששמונה זה חצי של שש עשרה.

כמה דברים קורים בהתייחסות פשוטה זו:

א.      ההתייחסות לתשובה כאל 'משהו' ולא רק  כאל 'כלום' (טעות), מאפשרת לעבור ממרחב הישרדותי (יתרון) למרחב יצירתי (דעת פורה).

ב.       המוקד עובר מן המורה וממה שהוא יודע, רוצה ומכוון, אל הילד ואל מה שהוא מביא. הילד מקבל משוב למחשבה שהוא יוצר.

ג.       התייחסות כזאת מאפשרת לו להתאקלם בעולם המתמטיקה, לחוש כמה הוא קרוב או רחוק מהתשובה, לפתח סוג של מודעות עצמית מתמטית, לדעת שהתשובה שלו אינה מנותקת, שהיא חלק מעולם שלם.

וזה הדין לגבי כל תשובה של ילד, כולל התשובה "אני לא יודע" או "אני לא מבין" שגם אליהן אפשר להתייחס בבחינת ה'יש' שהן.

לפעמים "אני לא יודע" הוא מעין "אני לא יודע, ולא רוצה לדעת, ולא מעניין אותי, ואתה מעיק". במקרה זה אפשר ונכון להתייחס לתשובה זו, וקרוב לוודאי להפסיק את השיעור, שהרי ברצונו ילמד, ובכוח לא ילמד.

לפעמים "אני לא יודע" זה "אני מפחד לטעות. אני לא בטוח. אני מוכן לומר 'כן' רק אם אני יודע באמת. אני אחוז שיתוק." אז אולי אפשר לעודד את הילד לנחש, לפתור את השאלה בעיניים עצומות, לשבור אותה בפטיש, או להציע כל דבר אחר שמחזיר את הילד למרחב היצירתי (הלא הישרדותי), ועושה עניין מפחיד לשעשוע.

ולפעמים "אני לא יודע" זה בפשטות "אני לא יודע אבל רוצה לדעת." ואז יש מקום להבין את האופן המיוחד שבו הוא לא יודע או לא מבין – "מה אתה לא מבין? מה אתה כן רואה? איזה חלק ברור ואיזה לא? אם היית צריך לנחש מה היית מנחש? איזה סוג של תשובה בכלל רלוונטי?".

זה הדין לגבי כל תשובה שהילד נותן. יש מקום להתייחס אליה לא רק בבחינת המיקום שהיא תופסת במרחב הידוע מראש של המורה. כי אז כל מה שהיא יכולה לעשות הוא לטפס מתחת לאדמה, מן השלילה (היעדרות) עד אל קרקע האפס, שם היא סותמת את בור הציפיות של המורה, ובעצם לא קרה כאן שום דבר חדש. הקניית הדעת מבקשת אחר מרחב בו כל תשובה, היא מה שהיא בבחינת עצמה, וביחס לעצמה, משמע, עניין חיובי, שהוא חלק מתהליך של יצירת משמעות והרחבת הדעת, מאבק יציאה לאור, שהמורה יכול לתמוך בו.

* * * * *

וצריך לא להתבלבל כאן, אפילו בעולמה של המתמטיקה.

גם אם התשובה הנכונה היא תשע והיא כזו ללא עוררין וללא מקום לפרשנות אישית וסובייקטיבית, בכל זאת תשע זה לא רק כמות אלא גם איכות, ובסופו של דבר, כבר בשלב הזה, אי אפשר לוותר על ההבנה. שזה כמו להגיד – אי אפשר לוותר על האדם. כן, אפילו המתמטיקה שלכאורה אפשר לתרגמה לחלוטין לצורות וחוקים הפועלים מעצמם, אפילו בה נדרש האדם. והיצירה המתמטית הפורה צומחת בסופו של דבר מן ההבנה על כל המטען התוכני, הבלתי ניתן להצרנה שלה. היא לא צומחת מן הכמות, אפילו שללא ספק הכמות והצורה הן הנושא של המתמטיקה.

ואסביר:

אמנם את התשובה תשע יכול לתת גם מחשב, ובכל זאת תהום פרושה בין התשע שנותן המחשב לתשע שמשיב האדם. תעיד על כך בתי (כשהייתה בת חמש בערך) כשבהתייחסה לילד צעיר יותר שידע להגיד שחמש ועוד חמש זה עשר, אמרה, כשהיא נאבקת אחר המלים שיבהירו את כוונתה: "הוא יודע את התשובה הנכונה אבל הוא לא באמת יודע אותה, הוא לא יודע כמו שאני יודעת, הוא רק אמר כי אמרו לו." היה לה חשוב להבהיר את ההבדל הזה, למרות שבאמת, מבחינת המחשב (והתוצאה במקרה הזה) אין שום הבדל, חמש ועוד חמש זה עשר.

אבל בחוש היא ידעה שיש הבדל, ואני אתה בעניין הזה. היא לא רק ידעה לדקלם. היא הבינה, היא ראתה, היא הבינה באיזה אופן חמש ועוד חמש זה עשר. היא ידעה את זה לא רק כקליפת ידע שחוזרים ומדקלמים, אלא כתשובה שבמובן מסוים חוזרים וממציאים כל פעם מחדש. כלומר, היא לא הייתה צריכה לזכור ולשנן את התשובה כי היא ראתה אותה (ורואה כל פעם מחדש).

אך מה היא ראייה זו?

המספר תשע מאכלס בהבנה הפנימית של הילד מקום מאוד מסוים. זה לא רק הדבר הזה: ||||||||| שהוא מחוסר משמעות מצד עצמו אלא זה 9 – יצור בעל מבנה פנימי. אגב, לריבוי הקווים יכולה להיות משמעות במספרים נמוכים יותר, שאז ישנה תפיסה ישירה של כמות וההבדל בין שלוש לארבע, למשל, הוא הבדל נחזה ומוחש. אבל לתשעה קווים, אצל רוב האנשים, ובודאי אצל הילדים, אין משמעות נפרדת מעשרה קווים כנגד שמונה קווים – זה נראה ומרגיש אותו הדבר. כך שהמספר 9, אם כן, הוא לא רק כמות, הוא בעל אישיות בעולם המספרים, ומי שמכיר אותו יודע למשל שהוא מספר לא זוגי, שהוא תכף מגיע לעשר (ועשר זה כמובן חמש ועוד חמש), שהוא הריבוע של שלוש, שהוא שליש של עשרים ושבע, ועוד הרבה דברים אחרים. ככל שאדם מתפתח יותר בעולם המתמטיקה המספר תשע מקבל עוד רבדים שמצטברים למשמעות של המספר, משמעות שהיא איכותית במהותה, לא כמותית, ואשר בלעדיה תשע לא היה תשע.

ההבנה היא לא רק סכום העובדות הללו. כמו הראיה התלת ממדית הצומחת מהצלבה של שני העיניים, כל הבנה היא יותר מסכום כל העובדות. ההבנה  היא התלת ממדיות. לפעמים תלת ממדיות זו היא כה חזקה עד שהיא מקבלת חיים החורגים מעולם המתמטיקה, והאדם יכול לזהות מספר עם צבע, צליל או אישיות. דברים אלה, אינם רק תופעות לוואי אקזוטיות שאינן קשורות למתמטיקה. אנו לומדים מאנשים בעלי כשרונות יוצאי דופן לחישובים (לפעמים מתוך פיגור כללי בשאר התחומים) שהם עושים זאת באופן ישיר, מתוך אותה ראייה של 'אישיות', המראה להם מה יקרה ל'אישיות' זו בתנאים שונים. הם לא מחשבים, הם רואים את התשובה, קוראים אותה מתוך הנוף המשתנה. במקום הזה אי אפשר ממש להבדיל בין צורת הספרה, ההיסטוריה של התגלותה אצל אדם מסוים והתוכן המתמטי שלה. כל העובדות הללו נאספות יחדיו ומייצרות את הראיה התלת ממדית העושה את ההבנה תמיד אישית.

ושוב, אל תסתפקו בסברה שכל אותה ראיה והבנה לא שייכות לעולם המתמטיקה, אלא רק לעולם האנושי. בלי זה לא הייתה מתמטיקה. המוטיבציה הגדולה לשאול ולחקור בתחום מהתמטיקה, ובעצם כל המשמעות שלה נובעות גם מאותן איכויות לא כמותיות הקשורות בהבנה האנושית, ונעדרות מן המתמטיקה כמבנה צורני בלבד. במילים אחרות, להוציא את האדם מן המתמטיקה זה כמו להוציא מן המתמטיקה את נשמת חייה.

* * * * *

כך נכון בכל תחום לימודים, בכל תחום חיים – למידה היא יצירה אישית. הילד שנשאל שאלה ונאבק כדי למצוא את התשובה שלה, נאבק בו זמנית גם כדי להוציא לאור את הבנתו המתמטית האישית. הוא לא רק ממלא מקום, צועד היכן שצעדו אחרים לפניו, אלא תמיד יוצר באופן אישי, ייחודי, נוכח. הוא מפלס דרך שהיא לגמרי שלו, גם כשלכאורה ה"עובדות" הן אותן עובדות. מאבק היציאה לאור הוא לא מאבק הזיכרון המנסה לאחוז בעובדות מתמטיות שרירותיות, אלא הניסיון לארוג אותן לכדי משהו שהוא בעל משמעות אישית.

ועל כן, כשילד משיב לשאלה אפשר להתייחס לתשובתו כמו שמתייחסים ליצירה של אמן. לא סתם הוא אמר את מה שהוא אמר. אם נתייחס אל מה שהוא אמר באותה רצינות שאנו מייחדים לדברים שהם "לא סתם", גם הוא ילמד להתייחס כך לתשובתו, וישקיע בה את מאבק רצינותו הישר.

להבין את זה, ולתמוך בזה, זה הוא אביבה הפורה של הדעת.

אני אוהבת מתמטיקה

אנטואן דה סיינט אכזופרי שייך בספרו "הנסיך הקטן" את חיבת הספרות והמספרים כתכונה בזויה של "המבוגרים". אלו שמתעניינים בכמויות, במקום במהויות : "אם סחת להם על חברך החדש, לעולם לא יבקשו לדעת את עיקרי הדברים ולא ישאלו: "מה טיבו של חבר זה? האם קולו ערב לאוזן? אילו משחקים חביבים עליו ביותר? האם הוא מאסף פרפרים?" ורק זאת יבקשו לדעת: "בן כמה הוא? כמה אחים לו? מה משקלו? כמה משתכר אביו?" הם סבורים כי רק כך אפשר להכיר את האיש ולעמוד על טיבו. אם תספרו למבוגרים: "ראיתי בית נאה בנוי לבנים אדמדמות; בחלונותיו פרחי גרניון ויונים שוכנות על גגו" – לא יוכלו המבוגרים לתאר לעצמם את הבית. הם לא יתפסו את העניין אלא אם כן תאמרו להם: "ראיתי בית שמחירו עשרת אלפים לירה". רק אז יקראו בהתפעלות: "מה יפה בית זה!.." " ובהמשך: "כך טיבם של המבוגרים, ואין לדון אותם לכף חובה. על כן חייבים הילדים להתייחס אליהם בסלחנות ובאורך רוח, כי אנו, המבינים את סוד החיים, איננו מיחסים למספרים חשיבות יתרה". (מתוך "הנסיך הקטן" בתרגומו של אריה לרנר).

הספר הזה השפיע רבות על חיי, ושנים רבות, הנסיך הקטן היה אחת מדמויות המופת שלי. סמל לאחד המבין את סוד החיים, ושכדאי להדמות לו. אבל… עוד בעודי ילדה גם בגוף (אני מקווה שבנפשי עדיין נשארתי, במידה זו או אחרת, ילדה, גם היום), אהבתי חשבון, מתימטיקה. בגלל הספר, התקשיתי להודות בכך – אפילו לעצמי. כן, אהבתי, ועודני אוהבת, גם מילים, מנגינות, פרחים ועוד… אבל, לבושתי, גם מספרים.

לקח לי שנים רבות לנסח לעצמי את ההבדל, כדי שאוכל לחיות איתו בשלום.

אנטואן דה סיינט אכזופרי, בעצם, בכלל לא מדבר על המתימטיקה, אלא על המנייה. הצורך למנות כל דבר, לקטלג אותו על פי כמות, לצבור כמויות – כמו איש העסקים בהמשך הספר, שמונה כל הזמן את "רכושו", שבעצם כלל אינו שלו – מספר הכוכבים בשמיים. זוהי אכן תכונה מייגעת, צרכנית. הסתכלות חד-מימדית על העולם, רק כעל אוסף חפצים שיש להשיג ולהעביר לרשותנו…

אבל אני, אוהבת לשחק במספרים. לגלות את היופי, שמסתתר בלוח הכפל (יש שם דוגמאות סימטריה מרהיבות), לאתגר את עצמי בחידות ולגלות להן תשובות אלגנטיות, לגלות חוקים מסתוריים, ולפצח עוד חלק מ"סוד החיים". כשיש חידה, או תרגיל, או משפט להוכחה, ואני מצליחה לפתור אותן – זו תחושת סיפוק והנאה. במיוחד אם הפתרון דרש תחכום כלשהו, ולא רק עבודה טכנית.

מבחינתי, זהו עוד משחק, עוד יצירה – לא מהות החיים (לחיים יש הרבה צדדים ומימדים אחרים), אבל חלק מהנה מהם. לפעמים מתסכל, דורש התמודדות, דורש דיוק. לפעמים כולל בתוכו גם "עבודה שחורה" וטכנית – כמו הרבה דברים בחיים. אבל בתמונה הגדולה, זהו משחק, ואתגר, המחייב הפעלה של המוח בדרכים יצירתיות.

זה גם מה שאני אוהבת במקצוע שלי – תכנות מחשבים. למרות התדמית ה"יבשה", אני מוצאת כאן צורך מתמיד בחשיבה יצירתית, אפילו באינטואיציה – בשביל למצוא את הפתרון הטוב ביותר, היעיל ביותר, הכללי ביותר ושיהיה גם קריא ומובן ככל האפשר. כדי לאתר את השגיאות והבאגים שנפלו בדרך.

הייתי צריכה להתמודד עם קולות בתוכי שאמרו "מתימטיקה זה למבוגרים משעממים" ועם קולות מבחוץ שאמרו "מתימטיקה/מחשבים זו חשיבה של גברים" אבל היום אני אומרת בפה מלא: אני אוהבת מתימטיקה. זה כיף.

לומר שמתימטיקה זה ל"מבוגרים", זה כמו לומר שמילים הן למבוגרים, רק בגלל שאפשר לכתוב בהן מסמכים משפטיים מייגעים והצהרות הון משמימות, ולהתעלם מעולם שלם של שירה, ספרות, משחקי מילים ו"סתם" תקשורת אנושית.

"מבוגר" יסתכל על פרח, וידע לזהות אותו בשמו הלטיני ולשייך אותו למשפחה ולשיטת גידול, ו"ילד" יביט בפרח, יריח אותו, וירגיש איך הנשימה שלו מתרחבת והלב שלו נמס, גם אם אין לו מושג איך קוראים לו, ואפילו אם כן. הבן שלי אמר לי פעם (ועוד בדיוק כשהוא היה בתוך איזה בכי): "ראיתי משהו שמרגש אותי – חרצית". כי פרחים זה לא למבוגרים ולא לילדים. הם פשוט פרחים, וכל אחד בוחר איך לראות אותם.

אני יודעת שהרבה אנשים חושבים שאני מוזרה, ואיך בכלל אפשר לאהוב מתימטיקה – אבל, הי, זה לא הדבר היחידי שאני מוזרה בו…

מתמטיקה לא מושחתת

  1. אם יש סיבה אחת שמצדיקה שנקרא לילדים מענייניהם ונאתגר אותם בלימוד מתמטיקה, היא קשורה באימון המידות המוסריות. ההצדקות האחרות שנותנים בדרך כלל לעיסוק זה – שאם לא ילמדו אותם מתמטיקה הם לא ידעו לקנות במכולת, או שבכך אנחנו עושים אותם חכמים יותר – מלבד זה שהן נגועות במניעים זרים, הן  פשוט לא נכונות. ועל כך הרחבתי במקומות האחרים. Continue reading

מתמטיקה

מהגיליון הקודם, שעסק בגוף הגשמי, נעבור לגיליון שעוסק בתחום מופשט: מתמטיקה.

מהי המתמטיקה? מלכת המדעים או חרדת ההמונים? בשביל מה צריך בכלל מתמטיקה? האם המספרים השתלטו על תרבותנו? האם המתמטיקה היא סטיה פרטית של התרבות המערבית? איך אפשר ללמוד מתמטיקה באופן טבעי? האם ילד יוכל להסתדר בחיים בלי לדעת לפתור משוואה ריבועית? למה אנשים מסוימים אוהבים מתמטיקה? למה אנשים אחרים לא? ומה הקשר למוזיקה?

מוזמנים לשתף אותנו במחשבותיכם, נסיונכם, הגיגיכם וחוכמתכם בכל מה שקשור למתמטיקה, וגם בכל שאר הנושאים הקשורים ל"באופן טבעי" – הריון, לידה, הנקה, חינוך ביתי, אקולוגיה, הורות, חינוך, משפחה וכו'

חדוה, יונת, חגית ואורנה