תרגיל בשברים

בדרך כלל הפולמוס סביב החינוך האלטרנטיבי מייצר שני קטבים המעמידים את תומכי החינוך הרגיל בצד ה"לימודים" וה"הישגים", ומותירים את תומכי החינוך האלטרנטיבי לדשדש בערכים מעורפלים של חופש, הרגשה, והומאניות. אין רואים שגם מן הצד הזה – הלימודי כביכול – בתי הספר הרגילים כושלים. ולא רק בכותרות ה"הישגיות" המופיעות מעל דפי העיתונים, אלא באופן עמוק יותר, פרטני יותר, כואב יותר.

הרשו לי, אם כן, להחזיר אתכם למתמטיקה של בית הספר היסודי, להדגים במקום שנחשב ל"מעוז" של החינוך המסורתי את עומק המצוקה. אנא הישארו עמי לאורך הדוגמאות, דווקא בפרטיהן הן חשובות.

Continue reading

ים המשמעות האישי

כשלוחם קרטה מבקש לשבור ערמת לבנים במכת יד אחת, הוא רק ישבור את ידו אם לא יגייס את כמות האנרגיה המתאימה. גם כאן ההבדל בין בעיות פתירות ללא פתירות יכול להיות טמון בעיקר בכמות המשאבים שהילד מגייס לעניין. ככל שהבעיה קשה יותר הוא צריך להישען על מאגרי אנרגיה גדולים יותר, מה שאני קורא "ים המשמעות".

הים הזה כולל ללא ספק ידע קודם, אבל הרבה יותר מכך הוא כולל בטחון, מודעות עצמית, אתגריות, תחושת שמחה ויצירתיות, עצמאות, אקלים בוגר, פניות נפשית ועוד. למשל הוא לא יכול לגייס את מלוא משאביו אם הוא יודע שהתרגיל הזה הוא רק אחד מני שלושים שהוא חייב לגמור מהר. כל פעם מחדש צריך להיות רק תרגיל אחד שהוא כל העולם. וייתכן שבשביל לפתור את התרגיל הזה הוא יטייל יום שלם – זה נפלא, אגב כך הוא ירחיב ויעמיק את ים המשמעות שמתוכה יוכל לצמוח הפתרון כדבר משמעותי ועמוק שורשים.

Continue reading

תסמונת פוסט טראומתמטית

אני מכירה כל כך טוב את ההבעה הזאת אצל בני שיחי: המבט מתעמעם, ההנהונים מקבלים מקצב קבוע מדי, בעוד הכתפיים מתרוממות מעט לכיוון האוזניים. ואני יודעת מה זה אומר: שוב הזכרתי משהו שנשמע כמו מתמטיקה. עם דגש על המלה "כמו", כי אנשים יכולים לשוחח בקלות על דפוסים חוזרים, על עקרונות, על דברים דומים לזה ודברים שונים מההוא, על צורות ועל מקצבים — בקיצור, על תכנים מתמטיים. רבים יכולים אפילו לעשות את הדברים האלה – בנגינה, בציור, בתפירה, וכו'. אז למה הם נאטמים כשמגיעים לדבר על הדברים האלה במונחים של שפת המתמטיקה?

Continue reading

מלאות תשובת הילד

"כשיתחיל בית הספר להקנות לילדים דעת ולא יתרונות, ניתן לילדים במקום בחינות את האביב."

— קורצ'אק

נניח ששואלים ילד צעיר כמה זה חצי של שמונה עשרה, והוא עונה שמונה.

אם מודיעים לו שהתשובה לא נכונה ועוברים הלאה (נותנים את התשובה הנכונה, שואלים מישהו אחר, עוברים לשאלה הבאה, או אפילו חוזרים ושואלים את הילד את אותה השאלה) זה עשוי להצביע על-כך שיותר משאנו מבקשים להקנות לו דעת, אנו מבקשים להקנות לו יתרון (או חסרון). משמע, שהדגש הוא על התחרותיות, על ההצלחה או הכישלון בבחינת כן/לא, ולא על הלימוד שהוא תמיד רבגוני, שהוא לא רק  קליפת הכן/לא, אלא התוכן עצמו שהוא מלא ובלתי נמדד.

ואיך היה נראה לימוד שהוא ממוקד דעת במובן הבריא של המילה?

אם ילד נותן תשובה, ולא משנה איזו תשובה, יש מקום להתייחס לתשובתו בבחינת 'יש'.

במקרה הזה אפשר להגיד לו למשל ששמונה זה חצי של שש עשרה.

כמה דברים קורים בהתייחסות פשוטה זו:

א.      ההתייחסות לתשובה כאל 'משהו' ולא רק  כאל 'כלום' (טעות), מאפשרת לעבור ממרחב הישרדותי (יתרון) למרחב יצירתי (דעת פורה).

ב.       המוקד עובר מן המורה וממה שהוא יודע, רוצה ומכוון, אל הילד ואל מה שהוא מביא. הילד מקבל משוב למחשבה שהוא יוצר.

ג.       התייחסות כזאת מאפשרת לו להתאקלם בעולם המתמטיקה, לחוש כמה הוא קרוב או רחוק מהתשובה, לפתח סוג של מודעות עצמית מתמטית, לדעת שהתשובה שלו אינה מנותקת, שהיא חלק מעולם שלם.

וזה הדין לגבי כל תשובה של ילד, כולל התשובה "אני לא יודע" או "אני לא מבין" שגם אליהן אפשר להתייחס בבחינת ה'יש' שהן.

לפעמים "אני לא יודע" הוא מעין "אני לא יודע, ולא רוצה לדעת, ולא מעניין אותי, ואתה מעיק". במקרה זה אפשר ונכון להתייחס לתשובה זו, וקרוב לוודאי להפסיק את השיעור, שהרי ברצונו ילמד, ובכוח לא ילמד.

לפעמים "אני לא יודע" זה "אני מפחד לטעות. אני לא בטוח. אני מוכן לומר 'כן' רק אם אני יודע באמת. אני אחוז שיתוק." אז אולי אפשר לעודד את הילד לנחש, לפתור את השאלה בעיניים עצומות, לשבור אותה בפטיש, או להציע כל דבר אחר שמחזיר את הילד למרחב היצירתי (הלא הישרדותי), ועושה עניין מפחיד לשעשוע.

ולפעמים "אני לא יודע" זה בפשטות "אני לא יודע אבל רוצה לדעת." ואז יש מקום להבין את האופן המיוחד שבו הוא לא יודע או לא מבין – "מה אתה לא מבין? מה אתה כן רואה? איזה חלק ברור ואיזה לא? אם היית צריך לנחש מה היית מנחש? איזה סוג של תשובה בכלל רלוונטי?".

זה הדין לגבי כל תשובה שהילד נותן. יש מקום להתייחס אליה לא רק בבחינת המיקום שהיא תופסת במרחב הידוע מראש של המורה. כי אז כל מה שהיא יכולה לעשות הוא לטפס מתחת לאדמה, מן השלילה (היעדרות) עד אל קרקע האפס, שם היא סותמת את בור הציפיות של המורה, ובעצם לא קרה כאן שום דבר חדש. הקניית הדעת מבקשת אחר מרחב בו כל תשובה, היא מה שהיא בבחינת עצמה, וביחס לעצמה, משמע, עניין חיובי, שהוא חלק מתהליך של יצירת משמעות והרחבת הדעת, מאבק יציאה לאור, שהמורה יכול לתמוך בו.

* * * * *

וצריך לא להתבלבל כאן, אפילו בעולמה של המתמטיקה.

גם אם התשובה הנכונה היא תשע והיא כזו ללא עוררין וללא מקום לפרשנות אישית וסובייקטיבית, בכל זאת תשע זה לא רק כמות אלא גם איכות, ובסופו של דבר, כבר בשלב הזה, אי אפשר לוותר על ההבנה. שזה כמו להגיד – אי אפשר לוותר על האדם. כן, אפילו המתמטיקה שלכאורה אפשר לתרגמה לחלוטין לצורות וחוקים הפועלים מעצמם, אפילו בה נדרש האדם. והיצירה המתמטית הפורה צומחת בסופו של דבר מן ההבנה על כל המטען התוכני, הבלתי ניתן להצרנה שלה. היא לא צומחת מן הכמות, אפילו שללא ספק הכמות והצורה הן הנושא של המתמטיקה.

ואסביר:

אמנם את התשובה תשע יכול לתת גם מחשב, ובכל זאת תהום פרושה בין התשע שנותן המחשב לתשע שמשיב האדם. תעיד על כך בתי (כשהייתה בת חמש בערך) כשבהתייחסה לילד צעיר יותר שידע להגיד שחמש ועוד חמש זה עשר, אמרה, כשהיא נאבקת אחר המלים שיבהירו את כוונתה: "הוא יודע את התשובה הנכונה אבל הוא לא באמת יודע אותה, הוא לא יודע כמו שאני יודעת, הוא רק אמר כי אמרו לו." היה לה חשוב להבהיר את ההבדל הזה, למרות שבאמת, מבחינת המחשב (והתוצאה במקרה הזה) אין שום הבדל, חמש ועוד חמש זה עשר.

אבל בחוש היא ידעה שיש הבדל, ואני אתה בעניין הזה. היא לא רק ידעה לדקלם. היא הבינה, היא ראתה, היא הבינה באיזה אופן חמש ועוד חמש זה עשר. היא ידעה את זה לא רק כקליפת ידע שחוזרים ומדקלמים, אלא כתשובה שבמובן מסוים חוזרים וממציאים כל פעם מחדש. כלומר, היא לא הייתה צריכה לזכור ולשנן את התשובה כי היא ראתה אותה (ורואה כל פעם מחדש).

אך מה היא ראייה זו?

המספר תשע מאכלס בהבנה הפנימית של הילד מקום מאוד מסוים. זה לא רק הדבר הזה: ||||||||| שהוא מחוסר משמעות מצד עצמו אלא זה 9 – יצור בעל מבנה פנימי. אגב, לריבוי הקווים יכולה להיות משמעות במספרים נמוכים יותר, שאז ישנה תפיסה ישירה של כמות וההבדל בין שלוש לארבע, למשל, הוא הבדל נחזה ומוחש. אבל לתשעה קווים, אצל רוב האנשים, ובודאי אצל הילדים, אין משמעות נפרדת מעשרה קווים כנגד שמונה קווים – זה נראה ומרגיש אותו הדבר. כך שהמספר 9, אם כן, הוא לא רק כמות, הוא בעל אישיות בעולם המספרים, ומי שמכיר אותו יודע למשל שהוא מספר לא זוגי, שהוא תכף מגיע לעשר (ועשר זה כמובן חמש ועוד חמש), שהוא הריבוע של שלוש, שהוא שליש של עשרים ושבע, ועוד הרבה דברים אחרים. ככל שאדם מתפתח יותר בעולם המתמטיקה המספר תשע מקבל עוד רבדים שמצטברים למשמעות של המספר, משמעות שהיא איכותית במהותה, לא כמותית, ואשר בלעדיה תשע לא היה תשע.

ההבנה היא לא רק סכום העובדות הללו. כמו הראיה התלת ממדית הצומחת מהצלבה של שני העיניים, כל הבנה היא יותר מסכום כל העובדות. ההבנה  היא התלת ממדיות. לפעמים תלת ממדיות זו היא כה חזקה עד שהיא מקבלת חיים החורגים מעולם המתמטיקה, והאדם יכול לזהות מספר עם צבע, צליל או אישיות. דברים אלה, אינם רק תופעות לוואי אקזוטיות שאינן קשורות למתמטיקה. אנו לומדים מאנשים בעלי כשרונות יוצאי דופן לחישובים (לפעמים מתוך פיגור כללי בשאר התחומים) שהם עושים זאת באופן ישיר, מתוך אותה ראייה של 'אישיות', המראה להם מה יקרה ל'אישיות' זו בתנאים שונים. הם לא מחשבים, הם רואים את התשובה, קוראים אותה מתוך הנוף המשתנה. במקום הזה אי אפשר ממש להבדיל בין צורת הספרה, ההיסטוריה של התגלותה אצל אדם מסוים והתוכן המתמטי שלה. כל העובדות הללו נאספות יחדיו ומייצרות את הראיה התלת ממדית העושה את ההבנה תמיד אישית.

ושוב, אל תסתפקו בסברה שכל אותה ראיה והבנה לא שייכות לעולם המתמטיקה, אלא רק לעולם האנושי. בלי זה לא הייתה מתמטיקה. המוטיבציה הגדולה לשאול ולחקור בתחום מהתמטיקה, ובעצם כל המשמעות שלה נובעות גם מאותן איכויות לא כמותיות הקשורות בהבנה האנושית, ונעדרות מן המתמטיקה כמבנה צורני בלבד. במילים אחרות, להוציא את האדם מן המתמטיקה זה כמו להוציא מן המתמטיקה את נשמת חייה.

* * * * *

כך נכון בכל תחום לימודים, בכל תחום חיים – למידה היא יצירה אישית. הילד שנשאל שאלה ונאבק כדי למצוא את התשובה שלה, נאבק בו זמנית גם כדי להוציא לאור את הבנתו המתמטית האישית. הוא לא רק ממלא מקום, צועד היכן שצעדו אחרים לפניו, אלא תמיד יוצר באופן אישי, ייחודי, נוכח. הוא מפלס דרך שהיא לגמרי שלו, גם כשלכאורה ה"עובדות" הן אותן עובדות. מאבק היציאה לאור הוא לא מאבק הזיכרון המנסה לאחוז בעובדות מתמטיות שרירותיות, אלא הניסיון לארוג אותן לכדי משהו שהוא בעל משמעות אישית.

ועל כן, כשילד משיב לשאלה אפשר להתייחס לתשובתו כמו שמתייחסים ליצירה של אמן. לא סתם הוא אמר את מה שהוא אמר. אם נתייחס אל מה שהוא אמר באותה רצינות שאנו מייחדים לדברים שהם "לא סתם", גם הוא ילמד להתייחס כך לתשובתו, וישקיע בה את מאבק רצינותו הישר.

להבין את זה, ולתמוך בזה, זה הוא אביבה הפורה של הדעת.

מתמטיקה לא מושחתת

  1. אם יש סיבה אחת שמצדיקה שנקרא לילדים מענייניהם ונאתגר אותם בלימוד מתמטיקה, היא קשורה באימון המידות המוסריות. ההצדקות האחרות שנותנים בדרך כלל לעיסוק זה – שאם לא ילמדו אותם מתמטיקה הם לא ידעו לקנות במכולת, או שבכך אנחנו עושים אותם חכמים יותר – מלבד זה שהן נגועות במניעים זרים, הן  פשוט לא נכונות. ועל כך הרחבתי במקומות האחרים. Continue reading

ללמוד לקרוא לפני שיודעים לדבר

בעיני רבים, מי שיודע לקרוא תוים, יודע מוסיקה. עבור אלה שאינם יודעים לקרוא תוים, זה נראה כמו אוסף קוים ונקודות חסרי משמעות, "שפה סודית" למביני דבר בלבד, כתב סתרים מיוחד שבלתי אפשרי לפענח אותו.

מורים רבים למוסיקה, מלמדים קריאת תוים באופן מסודר כבר בראשית לימודי הנגינה והורים רבים של תלמידי מוסיקה, מצפים שהילד ילמד לקרוא תוים כבר בשלב מוקדם. בשבילם, אם הילד יודע לקרוא תוים, זה הסימן הטוב ביותר לכך שהוא אכן לומד ומתקדם. אם הוא לא לומד לקרוא תוים, הם עלולים להרגיש שהלימוד "לא רציני", ללא קשר להתקדמות בנגינה. לקריאת התוים ולתוים עצמם יש איזו הילת-קדושה שמבחינה בין "היודעים" לאלה "שאינם יודעים".

Continue reading